Pista centrifuga.
Inventario D del 1956 n° 1744.
La pista centrifuga mostra essenzialmente che se il cilindretto parte da una posizione della discesa, inferiore a quella corrispondente ad una ben definita altezza minima rispetto alla base, non riuscirà a completare il giro, cadendo nel primo tratto del cerchio.
L`altezza minima si determina per via sperimentale.
Il cilindretto ha i bordi sagomati in modo tale da non farlo uscire dalla pista durante la discesa.
Le foto con stroboflash sono state realizzate da Federico Balilli, coadiuvato da Angelo Sgammini, con una macchina fotografica tradizionale e pellicola in bianconero.
Per rendere stimolante una lezione di fisica sulla conservazione dell`energia meccanica, dapprima si fa osservare l`apparecchio in funzione, poi si invitano gli allievi a fare una previsione approssimata di quella altezza minima. Si suggerisce quindi che, per risolvere il problema, essi possono applicare il suddetto principio di conservazione, unitamente a una particolare equazione che normalmente si usa nel problema dei satelliti in orbita circolare.
Le considerazioni che seguiranno sono valide solo se il cilindretto, fin dall’inizio del suo moto, rotola senza scivolare.
Altrimenti è necessario ricorrere al principio generale della conservazione dell’energia e ciò esula dall’intento di queste note.
Nella pratica sperimentale infatti la pendenza della discesa causa un evidente scivolamento iniziale del cilindretto, a cui segue il rotolamento, ciò comporterebbe una difficile trattazione teorica.
Quando il cilindretto è posto ad una certa altezza rispetto al piano di appoggio (posizione 1 nel disegno in nero di china), il sistema cilindretto – Terra possiede una energia gravitazionale locale: U = mgh. Non appena viene lasciato libero il cilindretto rotola giù.
Se si trascurano le perdite dovute agli impedimenti, così li avrebbe chiamati Galileo, si può affermare che l’energia potenziale iniziale si è trasformata, al punto 2 nel disegno, in energia cinetica di traslazione ½ mv2 e di rotazione ½Jω2 , pur restando una residua energia potenziale di mg2R:
mgh = mg2R + ½ mv2 + ½ Jω2 (A) .
Si trova inoltre che il cilindretto raggiunge agevolmente il punto 2 nel disegno se si verifica la condizione che la forza centripeta in quel punto è dovuta solo al peso P; si scrive dunque:
Fc = P (B)
e cioè
mv2 / R = mg
dove R è il raggio del cerchio formato dalla pista in quel tratto.
Questa condizione fornisce il limite minimo del valore della velocità al punto 2. Infatti se il cilindretto avrà una velocità inferiore, cadrà prima del punto 2 senza completare il giro, poiché il peso ne curverà eccessivamente la traiettoria, come si osserva nella prima foto qui sotto.
Mentre per velocità superiori, la forza di sostegno della pista si sommerà al peso, per dare la forza centripeta verso il basso, e il cilindretto proseguirà nella sua corsa, come nella foto successiva.
Dalla (B) si ha:
v2 = gR (C)
Tenendo inoltre presente che ω2 = v2/r2, si ottiene:
ω2 = gR/r2 (D)
dove r è il raggio del cilindretto.
Sostituendo la (C) e la (D) nella (A) si ottiene:
mghmin = mg2R + ½ mgR + ½ JgR/r²
per il cilindretto, il momento di inerzia J = mr², dunque, sostituendo e semplificando opportunamente si ottiene:
hmin = 2R + ½ R +¼ R = 2,75 R
Fatta la previsione si passa all’esperimento che mostra subito la consistenza delle perdite di energia durante il tragitto, poiché l’altezza minima Hmin richiesta per completare il giro è più grande della stima teorica hmin. La differenza
ΔE = mg Hmin – mg hmin
fornisce infatti il valore di tali perdite.
Nella pratica sperimentale con questo esemplare, il valore di 2R è pari a circa 13,8 cm, i calcoli per la previsione teorica danno per hmin poco meno di 19 cm, mentre il valore sperimentale è Hmin = 26 cm circa.
Ci si può chiedere ora che cosa accadrebbe se il cilindretto scivolasse senza attrito. In questo caso ideale, ammesso che siano ininfluenti le resistenze dell’aria ed eventuali perdite di energia per fenomeni elettromagnetici e quant’altro, si potrebbe scrivere:
mgh = mg2R + ½ mv² (E)
sostituendo la (C) nella (E), si ottiene:
mg hmin = mg2R + ½ mgR
da cui semplificando si ha:
hmin = 2R + ½ R = 2,5 R.
Questo valore è leggermente inferiore a quello ottenuto nel caso precedente di rotolamento del cilindretto e vale circa 17 cm.
Il disegno è un particolare di un nero di china del prof. arch. Giovanni Rastelli, dove si osserva una parte dei calcoli semplificati da proporre nello svolgimento della lezione. I numeri 1 e 2 in rosso sono stati aggiunti da chi scrive perché usati nel testo.
Qui sotto si vede il disegno completo.
Foto di Federico Balilli, elaborazioni, ricerche e testo di Fabio Panfili.
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