Categoria: fisica

   Sirena di Savart a ruote dentate.
Nell`inventario del luglio 1906 a pag. 232, n° 849, viene dichiarata già esistente col nome di “ruota dentata di Savart”.
 È composta di quattro dischi coassiali con 40, 50, 60, 80 denti rispettivamente.
 Quando essa gira a velocità costante, accostando un cartoncino alle dentature, si ottengono delle note le cui altezze stanno come i numeri 4, 5, 6, 8.
Questa successione di note forma l`accordo perfetto maggiore nella scala diatonica: 1  5/4  3/2  2.
La frequenza del suono si trova moltiplicando il numero dei denti della ruota per il numero di giri al secondo della stessa.
Se il cartoncino viene sagomato a forma di pettine, in modo tale che i quattro lembi toccano i denti delle ruote contemporaneamente, arrivati ad una certa velocità di rotazione, l`accordo sarà nettamente percepibile.
  Il numero di giri si può misurare o con un contagiri meccanico o con uno stroboflash.
F. Savart (1791-1841).

La figura 797 è a pag. 54 del Catalogue N° 10 Physical Instruments by Ferdinand Ernecke Berlin SW. O. Newmann & Co. London. W. C. ( forse del 1884) . Rinvenibile all’indirizzo:
https://ia800706.us.archive.org/10/items/catnumtenphyinst00newmrich/catnumtenphyinst00newmrich.pdf
 Bibliografia.
A. Funaro e R. Pitoni, Fisica e Chimica, Vol. II, R. Giusti, Livorno 1907.
L. Segalin, Fisica sperimentale, Vol. II, G. B. Paravia & C., Torino 1933.
  Foto di Federico Balilli, elaborazioni, ricerche e testo di Fabio Panfili.
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   Sirena di T. J. Seebeck (1770-1831).
Ditta costruttrice: Ing. Santarelli Firenze.
Nell`inventario del luglio 1906, n° 847, viene detta già esistente.
Il disco di zinco presenta otto serie di fori.
In alcuni cataloghi degli strumenti di laboratorio sono riportati i numeri dei fori per ogni serie: 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48. Questi numeri sono i rapporti dell`ottava centrale, con il Do come nota tonica e il La di 440 Hz come frequenza campione, nella scala musicale diatonica.
L`esemplare del Montani invece presenta i seguenti numeri di fori per ogni serie: 48, 54, 60, 64, 72, 80, 90, 96; che sono i rapporti dell`ottava successiva.
Ogni rapporto si trova dividendo la frequenza della nota considerata per il numero 11, ad esempio il La ha una frequenza di 440 Hz che, diviso 11, dà 40.
Nella scala armonica o naturale di Zarlino, ad ogni nota corrisponde un numero proporzionale delle vibrazioni corrispondenti:
  Do₁ 1 ; Re  9/8 ; Mi  5/4 ; Fa  4/3 ; Sol  3/2 ; La  5/3 ; Si  15/8;   Do₂  2 .
Moltiplicando ogni numero che affianca la nota per 24 si ottiene la serie del primo elenco: 24, 27, 30 ecc. Moltiplicando gli stessi numeri per 48 si ottiene la seconda serie: 48, 54, 60 ecc.Per il funzionamento, il disco viene applicato all`albero di un apparecchio di rotazione e messo in moto a velocità angolare costante; un leggero soffio d`aria quindi viene diretto perpendicolarmente su una serie di fori; spostando il soffio da una serie all`altra si ottiene una successione di note.
Il suono emesso si produce a causa delle compressioni e rarefazioni che si succedono nel getto d`aria, passando dalla zona piena al foro, ed è gradevole.
Se si riesce a misurare il numero di giri al secondo del disco e lo si moltiplica per il numero di fori, si ottiene la frequenza del suono emesso.
Avendo in dotazione un cannello, che termini con quattro getti d`aria, disposti lungo il raggio del disco, in modo tale che essi coincidano con quattro serie vicine di fori, si può regolare il numero di giri del disco fino ad ottenere l`accordo tra le quattro note emesse.
Bibliografia.
Scheda di istruzione N° 176 della Paravia.
L. Segalin, Fisica sperimentale, Vol. II, G. B. Paravia & C., Torino 1933, da cui è tratta la figura.
G. Castelfranchi, Fisica sperimentale e applicata, Vol. I, U. Hoepli, Milano 1941.
C. Goretti-Miniati, Elementi di fisica, Vol. II, F. Cuggiani, Roma 1909.
   Foto di Federico Balilli, elaborazioni, ricerche e testo di Fabio Panfili.
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    Sonometro a scala temperata. Prima parte.
Non rinvenibile negli inventari e di non facile datazione, privo di marca.
Nell`inventario del 1906 al n° 858 di pag. 236 si legge, nella sezione Gabinetto di Fisica, del primo sonometro di cui si ha notizia: “Una cassa lunga di risonanza per tendervi delle corde. In esistenza, condizione mediocre. ₤ 10”.
Il sonometro non è uno strumento musicale per suonare melodie ma serve per costruire e spiegare le scale musicali e/o per mostrare le leggi dei modi di vibrazione delle corde.
Esso deriva dal monocordo attribuito a Pitagora, il quale circa 2500 anni fa con questo strumento costruì la prima scala musicale della storia occidentale.
Secondo alcuni autori, il monocordo era conosciuto ben prima dagli antichi egizi.
Fin dall`antichità era sicuramente noto il fatto che se due suoni hanno uno frequenza doppia dell`altro si ha consonanza. L`intervallo fra i due suoni sarà chiamato in seguito ottava, e questo intervallo è talmente grande che ammette molti suoni intermedi gradevoli.
La scuola pitagorica dunque trasformò il monocordo in uno strumento fisico-matematico per costruire una scala che fu usata fino a circa il 1500; nella seconda parte diamo qualche cenno storico.
Qui descriviamo brevemente questo sonometro.
Una cassa di risonanza in legno lunga 47 cm presenta tre fori per l`uscita del suono; su di essa sono posti due ponti alla distanza di 40 cm.
Da una parte sono fissate due corde metalliche che vengono tese con due ganci, muniti di vite e madrevite, posti dall`altra parte.
È molto importante poter regolare bene la tensione T di ciascuna corda.
In realtà un gancio è andato perduto insieme al ponticello che si fa scorrere sotto le corde per ottenere le lunghezze desiderate. In attesa del restauro le foto sono state elaborate per restituire l`integrità allo strumento.
La corda di maggior diametro è posta sopra una scala musicale temperata che riporta sia le note sia le relative frequenze; l`altra corda più sottile è posta sopra una scala sulla quale è riportata la lunghezza in cm con lo zero a destra e il numero 40 a sinistra.
Lo strumento si eccita o con un archetto di violino o col pizzico, meglio se dato con un plettro.
La scala temperata (o a temperamento equabile) è quella più diffusa in occidente ed ha tutti gli intervalli musicali uguali. Partendo da una nota, scelta come fondamentale, la nota successiva si trova moltiplicando la frequenza della precedente per la radice dodicesima di 2, un numero irrazionale le cui prime cifre sono: 1,0594630945929526182529463.
Per fare un esempio, la prima nota che si legge a sinistra e che corrisponde alla lunghezza massima di 40 cm è il Mi₄ di 652 Hz (numero di vibrazioni complete al secondo); moltiplicando 652 per 1,059463 si ottiene 690,76 e infatti poco più a destra, alla distanza di 37,46 cm, si legge 691 corrispondente al Fa₄. Moltiplicando 691 ancora per 1,059463 si trova circa 732 che è il Fa_4diesis coincidente in questo tipo di scala col Sol_4bemolle alla distanza di 35,35 cm. Moltiplicando 732 sempre per 1,059463 si trova circa 776 che è il Sol₄ alla distanza di 33,37 cm. e così via. Come si nota subito, i calcoli sono molto approssimati per via del numero irrazionale che da luogo alla progressione geometrica. L`importante è che quando si trova il Mi<sub>5</sub> successivo, esso deve avere una frequenza doppia del Mi<sub>4</sub>, cioè 1304 Hz e deve trovarsi a 20 cm!
È bene sottolineare che questa scala ha come nota fondamentale il La<sub>3</sub> di 335 Hz ( il La<sub>4</sub> è di 870 Hz), mentre invece tutti gli strumenti musicali moderni, a cominciare dai pianoforti, hanno la scala a temperamento equabile basata sul La<sub>3</sub> di 440 Hz  (in questo caso il Mi<sub>4</sub> vale circa 698,46 Hz). Elenco delle note e delle relative distanze riportate sul sonometro: Mi<sub>4</sub> = 652 Hz 40 cm; Fa4 = 691 Hz 37,46 cm; Fa<sub>4diesis</sub> Sol<sub>4bemolle</sub> = 732 Hz 35,35 cm; Sol<sub>4</sub> = 776 Hz 33,37 cm; Sol<sub>4diesis</sub> La<sub>4bemolle</sub> = 822 Hz 31,50 cm; La<sub>4</sub> = 870 Hz 29,73 cm; La<sub>4diesis</sub> Si<sub>4bemolle</sub> = 922 Hz 28,06 cm; Si<sub>4</sub> = 977 Hz 26,48 cm; Do<sub>5</sub> = 1035 Hz 25 cm; Do<sub>5diesis</sub> = 1096 Hz 23,6 cm; Re<sub>5</sub> = 1162 Hz 22,3 cm; biquadro = 1220 Hz 21 cm; Mi<sub>5</sub> = 1304 Hz 20 cm come si era detto. Si noti come un`ottava è compresa in metà della lunghezza della corda. Fa₅ = 1392 Hz 18,5 cm è un dato palesemente errato, poiché 1304 x 1,05946 = 1,3815 Hz che infatti è quasi il doppio di 691! Dunque Fa₅ è di 1382 Hz. Proseguendo: 1,3815 x 1,05946 = 1,4636 Hz da cui moltiplicando ancora per 1,05946 si ha circa 1551 Hz che corrisponde al Sol₅ ( 776 x 2 = 1552) e non certo 1644 Hz che è il biquadro successivo.
A riprova degli errori scritti nell`ultima parte della scala il La<sub>5</sub> deve essere di 1740 Hz, cioè il doppio in frequenza del La<sub>4</sub> e dunque, pur con le approssimazioni dei calcoli, il Si<sub>5</sub> deve risultare di 1954 Hz e il Do alla fine della scala ha il “giusto” valore 2070 Hz.
Del resto con qualche calcolo si può osservare che i numeri riportati sul sonometro sono arrotondati. Si vuol sottolineare con ciò che le note di ogni ottava successiva devono avere sempre frequenze doppie delle note corrispondenti dell`ottava precedente.
Ovviamente se quelle note non corrispondono alle giuste frequenze, anche le distanze citate non corrispondono.
Tutto ciò fa pensare che questo sonometro non sia mai stato corretto da chi eventualmente lo ha usato in passato. Moltiplicando la lunghezza L della corda per la frequenza f si ottiene la velocità v dell`onda trasversale.
Onda che, viaggiando avanti e indietro nella corda e sovrapponendosi, forma (a causa della permanenza dell`immagine sulla retina dell`occhio) il tipico fuso caratterizzato da un ventre al centro e due nodi ai lati, come si vede nella figura 1.

Trascurando le approssimazioni, la velocità dell`onda calcolata si aggira sui 516-517 m/s.
Ormai è diventato chiaro che per ottenere le note segnate sul sonometro bisogna regolare la tensione della corda, confrontando ad esempio il La<sub>4</sub> sul sonometro con un diapason (o un diapason elettromagnetico o un campione elettronico) di frequenza 870 Hz, mentre invece storicamente l`uso del sonometro precede l`uso del diapason, che fu inventato da J. Shore nel 1711 e aveva una frequenza di 423,5 Hz.
Didatticamente il sonometro serve anche per mostrare che la frequenza fondamentale del suono emesso dipende dalla lunghezza della corda e dalla velocità di propagazione dell`onda trasversale nella corda secondo la legge f = v / 2L, poiché la condizione di risonanza è che la lunghezza d`onda sia il doppio della lunghezza della corda e questo si ottiene solo per una data velocità.
A sua volta la velocità è uguale alla radice quadrata del rapporto tra la tensione della corda e la massa per unità di lunghezza della corda. Le formule sono in figura 1.
Ecco dunque che per una data sezione di una corda di acciaio e per una data lunghezza, la frequenza del suono dipende dalla radice quadrata della tensione: per raddoppiare la frequenza bisogna quadruplicare la tensione. Inoltre, se la semilunghezza d`onda ad una data frequenza f_x è L_x, data la lunghezza L = 40 cm della corda tesa in modo tale che, eccitata con un archetto da violino, vibri all`unisono con un diapason Mi<sub>4</sub> di frequenza f = 651,76 Hz, per ottenere la frequenza f<sub>x</sub> di una nota x si fa scorrere il cavalletto fino a trovare la lunghezza L<sub>x</sub> della corda che riproduce il suono della frequenza voluta secondo la formula: f<sub>x</sub> = (L/L<sub>x</sub>) f. Le esperienze e le formule dicono pure che a parità di lunghezza e di tensione e usando corde dello stesso materiale, più sottile è la corda, più acuta è la nota ottenuta: questa è la ragione della presenza della seconda corda.
Nell`ottobre del 2014 il Prof. Egisto Mariani ha eseguito un intervento di restauro sul sonometro riportandolo alla funzionalità originaria.
Bibliografia:
La letteratura sul monocordo e sul sonometro è vastissima.
Noi citeremo solo:
C. Goretti-Miniati, Elementi di Fisica, Vol. II – Parte I, F. Cuggiani, Roma 1909.
H. E. White, Scale e strumenti musicali, 1940, riportato in AA. VV. The Project Physics Course, Zanichelli, Bologna 1977 da cui è tratta la fig. 1.
Per consultare le altre due parti scrivere “Sonometro” su Cerca.
Foto di Claudio Profumieri, elaborazioni, ricerche e testo di Fabio Panfili.
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Sonometro a scala temperata. Seconda parte.
Non rinvenibile negli inventari e di non facile datazione, privo di marca.
Nell`inventario D del 1937 al n° 275 si legge di un altro “Sonometro con due carrucole. ₤ 60” destinato al Gabinetto di Fisica.
Il sonometro non è uno strumento musicale ma serve per costruire le scale musicali e/o per mostrare le leggi dei modi di vibrazione delle corde.
Esso deriva dal monocordo attribuito a Pitagora (560 – 480 a.C.), il quale con questo strumento costruì la prima scala musicale della storia occidentale.
Vastissima è la letteratura al riguardo e secondo alcuni autori, il monocordo era conosciuto ben prima dagli antichi egizi.
Tra gli strumenti a corda la lira fu portata a 7 corde da Terpandro nel VII secolo a.C. e tale rimase per centinaia di anni. Altri autori sostengono che i pitagorici usassero come nota tonica C la frequenza di 256 Hz, ma si ignora come facessero all`epoca a misurare il numero di vibrazioni della corda.
Dunque i greci usavano le lettere del loro alfabeto per chiamare le note (uso rimasto in molti paesi: A (La), B (Si), C (Do) ecc.) e bisogna aspettare fino a Guido D`Arezzo (992-1050) che scelse le prime sillabe dei capoversi di un inno religioso: Ut, Re, Mi, Fa, Sol La. Il Si fu introdotto più tardi ( nota il S. J. finale). UT queant laxis / REsonare fibris / MIra gestorum / FAmuli tuorum /SOLve polluti / LAbii reatum / Sancte Joannes. 
  La scala di Pitagora, detta melodica, individua ad esempio il Do₁ facendo vibrare la corda intera e il Do₂, mettendo il ponticello scorrevole nel centro, vedi la figura 1.

Come si è spiegato nella prima parte, a parità di tensione della corda, con metà lunghezza si ottiene il doppio della frequenza, cioè si passa all`ottava superiore.
Se il ponticello viene posto a 2/3 della lunghezza si ottiene il Sol<sub>2</sub> ( vedi la figura 2) che ha una frequenza 3/2 della fondamentale.
Per ottenere le altre note della “gamma” completa si sposta il ponticello su 8/9 L per il Re<sub>1</sub> ottenendo una frequenza di 9/8 della fondamentale; così per il Mi<sub>1</sub> su 64/81 di L; per il Fa<sub>1</sub> 3/4 L; per il La<sub>1</sub> 16/27 L; per il Si<sub>1</sub> 128/243 L. I rapporti delle frequenze con la fondamentale sono Do<sub>1</sub> 1; Re<sub>1</sub> 9/8; Mi<sub>1</sub> 81/64; Fa<sub>1</sub> 4/3: Sol<sub>1</sub> 3/2; La<sub>1</sub> 27/16; Si<sub>1</sub> 243/128. Si nota subito che, progredendo, ci si è avvicinati al centro, cioè al Do<sub>2</sub>.
I suoni sono gradevoli, le frazioni si possono ottenere con combinazioni dei numeri 2 e 3 aventi esponenti 2 3 4 5 6 e i rapporti tra le frequenze di una nota con la precedente sono di 9/8 (tono) o 256/ 243 (semitono), da qui il nome scala diatonica; sembra il trionfo della fisica-matematica che spiega il piacere dell`ascolto, ma le distanze tra le posizioni del ponticello sono irregolari, e dunque gli intervalli tra le note sembrano capricciosi. Inoltre i rapporti di ciascuna nota con la fondamentale sono abbastanza complessi.
Non affrontiamo qui ulteriori problemi relativi a questa scala, a cui ci si riferì fino alla seconda metà del `500.
   Dopo un tentativo di semplificare i rapporti, dovuto secondo alcuni a Claudio Tolomeo (87-150 d.C), a partire dal 1558 Gioseffo Zarlino (1517-1590) introdusse la scala armonica con i seguenti rapporti: Do<sub>1</sub> 1; Re<sub>1</sub> 9/8; Mi<sub>1</sub> 5/4; Fa<sub>1</sub> 4/3; Sol<sub>1</sub> 3/2; La<sub>1</sub> 5/3; Si<sub>1</sub> 15/8; Do<sub>2</sub> 2.
Essa è detta naturale poiché usa i numeri primi 1 2 3 5 coi loro multipli. Ma mentre nella scala di Pitagora gli intervalli sono tutti uguali, in quella di Zarlino differiscono notevolmente; ciononostante i rapporti di Zarlino erano più adatti per la polifonia e la scala di Pitagora andò in disuso. Per ragioni di spazio non entriamo nei dettagli che sarebbero lunghi e complessi ma invero importanti. L`esigenza di trovare intervalli più regolari tra le note, senza urtare eccessivamente la gradevolezza dei suoni, portò all`introduzione dei bemolle e dei diesis nella scala di Zarlino che dunque si chiamò scala diatonica cromatica (nelle antiche melodie gregoriane il si molle era importante!).
  Successivamente, nel tentativo di rendere uguali gli intervalli, si arrivò a concepire di dividere un ottava in 31 parti e nel 1600 fu costruito un organo con 31 tasti per ottava. Si costruirono organi o cembali con 14 o 19 note per ottava, ma la pratica dell`esecuzione risultò difficilissima. Il primo a tentare una soluzione semplificativa ed equilibrata fu Andreas Werckmeinster ( 1645-1706) che nel 1691 introdusse il “buon temperamento”.
Si ritiene che J. S. Bach si sia ispirato ai suoi lavori per il “Clavicembalo ben temperato” scritto in dodici tonalità tra il 1722 e il 1744.
Il temperamento equabile, di cui si è parlato nella prima parte, consiste nel riunire i diesis e i bemolle in una sola nota (i tasti neri del pianoforte) ed è ciò che si vede in questo sonometro.
  Nel pianoforte ogni ottava viene suddivisa in dodici intervalli con uguali rapporti e le note sono in progressione geometrica in ragione della radice dodicesima di 2 = 1,05946….  La frequenza di ogni nota e di circa il 6% più alta della precedente. Inizialmente il temperamento equabile fu avversato perché introduce un numero irrazionale e perché esperimenti condotti negli anni con famosi musicisti hanno dimostrato che questi suonano usando la scala cromatica e non quella temperata; ma questa scala comporta notevoli vantaggi pratici come la possibilità di interpretare un brano indipendentemente dalla tonalità scelta, cioè dalla nota che si sceglie come base della scala, inoltre gli strumenti ad intonazione fissa suonano ugualmente bene tutte le tonalità senza bisogno di una riaccordatura totale ecc. .
 È bene sottolineare che prima il monocordo e poi il sonometro furono usati per secoli sia come campioni per la costruzione di strumenti sia per l`insegnamento della musica e del canto, fino all`avvento del diapason che, pur essendo stato inventato nel 1711, venne usato come campione solo a partire dal 1831.
Anche la scelta del La₃ nei secoli varia da un minimo di 404 Hz del 1699 fino ad un massimo di 452 Hz del 1885. Lo studio della fisica delle corde le cui formule sono riportate nella prima parte si deve a molti scienziati; tra i pionieri più noti vi furono: G. Benedetti (1530-1590); I. Beeckman (1588-1637); M. Mersenne (1588-1648) ; J. Sauver (1653-1716); ma l`elenco sarebbe ben più lungo.
   Nell`ottobre del 2014 il Prof. Egisto Mariani ha eseguito un intervento di restauro sul sonometro riportandolo alla funzionalità originaria.
  Bibliografia.
Come si è detto la letteratura che riguarda il sonometro è vastissima; noi citeremo solo:
C. Goretti-Miniati, Elementi di Fisica, Vol. II – Parte I, F. Cuggiani, Roma 1909 nel quale sono spiegate dettagliatamente le scale musicali.
H. E. White, Scale e strumenti musicali, 1940 riportato in AA. VV., The Project Physics Course, Zanichelli, Bologna 1977.
 Per consultare le altre due parti scrivere “Sonometro” su Cerca.
  Foto di Claudio Profumieri, elaborazioni, ricerche e testo di Fabio Panfili.
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       Sonometro a scala temperata. Terza parte.
Non rinvenibile negli inventari e di non facile datazione, privo di marca.
Nell`inventario del 1906 al n° 858 di pag. 236 si legge, nella sezione Gabinetto di Fisica, del primo sonometro di cui si ha notizia: “Una cassa lunga di risonanza per tendervi delle corde. In esistenza, condizione mediocre. ₤ 10”.
Nell`ottobre del 2014 il Prof. Egisto Mariani ha realizzato due prismi in ottone e uno dei due sistemi per ottenere la giusta tensione delle corde, sempre in ottone.
Quando il sonometro era stato rinvenuto, questi tre oggetti indispensabili al suo funzionamento mancavano.
Ogni prisma serve per scegliere la frequenza desiderata sistemandolo nel posto contrassegnato, dopo aver accordato la corda mediante un diapason.
Ignoriamo come fossero i prismi originali poiché non ci è pervenuto nessun documento al riguardo.
Per la storia e l`impiego del sonometro si prega di consultare le due parti precedenti  scrivendo “Sonometro” su Cerca.
Foto di Claudio Profumieri, elaborazioni di Fabio Panfili.
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